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一. 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布
1. 正態(tài)分布
隨機(jī)誤差的規(guī)律服從正態(tài)分布規(guī)律，可用正態(tài)分布曲線（高斯分布的正態(tài)概率密度函數(shù)）表示：
(13)
式中：y —概率密度； m—總體平均值；s —總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。
正態(tài)分布曲線依賴于m 和s 兩個(gè)基本參數(shù)，曲線隨m 和s 的不同而不同。為簡(jiǎn)便起見，使用一個(gè)新變數(shù)（u）來(lái)表達(dá)誤差分布函數(shù)式：
(14)
u的涵義是：偏差值（x-m）以標(biāo)準(zhǔn)偏差為單位來(lái)表示。
變換后的函數(shù)式為：
(15)
由此繪制的曲線稱為“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線” 。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線橫坐標(biāo)是以s 為單位，所以對(duì)于不同的測(cè)定值 m 及s ，都是適用的。
圖1：兩組精密度不同的測(cè)定值 圖2：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線
的正態(tài)分布曲線
“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線”清楚地反映了隨機(jī)誤差的分布性質(zhì)：
（1）集中趨勢(shì) 當(dāng) x=m 時(shí)（u=0），
，y此時(shí)最大，說(shuō)明測(cè)定值x集中在 m 附近，或者說(shuō)，m 是最可信賴值。
（2）對(duì)稱趨勢(shì) 曲線以 x=m 這一直線為對(duì)稱軸，表明：
正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。大誤差出現(xiàn)的概率小，小誤差出現(xiàn)的概率大；很大誤差出現(xiàn)的概率極小。在無(wú)限多次測(cè)定時(shí)，誤差的算術(shù)平均值極限為 0 。
（3）總概率 曲線與橫坐標(biāo)從-µ 到 + µ 在之間所包圍的面積代表具有各種大小誤差的測(cè)定值出現(xiàn)的概率的總和，其值為1（100%）
(16)
用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法可以證明并求出測(cè)定值 x 出現(xiàn)在不同 u 區(qū)間的概率(不同 u 值時(shí)所占的面積)即 x 落在 m± us 區(qū)間的概率：
置信區(qū)間 置信概率
u = ± 1.00 x = m ± 1.00 s 68.3%
u = ± 1.96 x = m ± 1.96 s 95.0%
u = ± 3.00 x = m ± 3.00 s 99.7%
二. 有限數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差的 t 分布
在實(shí)際測(cè)定中，測(cè)定次數(shù)是有限的，只有
和S，此時(shí)則用能合理地處理少量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法—t 分布
1. t 分布曲線 （實(shí)際測(cè)定中，用 
、S 代替m、s）
t 分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相似，縱坐標(biāo)仍為概率密度，縱坐標(biāo)則是新的統(tǒng)計(jì)量t
（17）
無(wú)限次測(cè)定，u一定 ® P 就一定；
有限次測(cè)定：t 一定 ® P 隨 n (自由度)不同而不同。
不同的 n 值及概率所對(duì)應(yīng)的t值，已有統(tǒng)計(jì)學(xué)家計(jì)算出來(lái)，可由有關(guān)表中查出。
2. 平均值的置信區(qū)間
應(yīng)用t分布估計(jì)真值范圍，考慮的符號(hào)時(shí)，則可得到如下關(guān)系式：
m = x ± tP,n S （18）
同樣，對(duì)于樣本平均值也存在類似的關(guān)系式：
（19）
此式表示的是在一定概率下，以樣本平均值為中心的包括真值在內(nèi)的取值范圍，即平均值的置信區(qū)間。
稱為置信區(qū)間界限。
此式表明：平均值
與真值的關(guān)系，即說(shuō)明平均值的可靠性。
平均值的置信區(qū)間取決于測(cè)定的精密度、測(cè)定次數(shù)和置信水平（概率）。(分析工作中常規(guī)定為 95%)
測(cè)定精密度越高（S小），測(cè)定次數(shù)越多（n大），置信區(qū)間則越小，即平均值
越準(zhǔn)確。
