• 概率介紹

• 離散型概率分布和連續(xù)型概率分布

• 抽樣和抽樣分布

• 區(qū)間估計(jì)

• 假設(shè)檢驗(yàn)

概率是指的對(duì)于某一個(gè)特定事件的可能性的數(shù)值度量，且在0-1之間。我們拋一枚硬幣，它有正面朝上和反面朝上兩種結(jié)果，通常用樣本空間S表示，S={正面，反面}，而正面朝上這一特定的試驗(yàn)結(jié)果叫樣本點(diǎn)。對(duì)于樣本空間少的試驗(yàn)，我們極易觀察出他們樣本空間的大小，而對(duì)于較復(fù)雜的試驗(yàn)，我們就需要學(xué)習(xí)些計(jì)數(shù)法則了。

如果一個(gè)試驗(yàn)可以分為循序的k個(gè)步驟，在第1步中有N1種試驗(yàn)結(jié)果，在第2步中有N2種試驗(yàn)結(jié)果...以此類推。那么所有的試驗(yàn)結(jié)果的總數(shù)為N1*N2*N3...*Nk。

舉例：拋兩枚硬幣，第一枚有正反兩種結(jié)果，第二枚有正反兩種結(jié)果。所以試驗(yàn)結(jié)果的總數(shù)是 2X2=4。

從N項(xiàng)中任取n項(xiàng)的組合數(shù)：

N和n的上下位置與我們平常見的是相反的。因?yàn)槲覀冞@里是以歐美規(guī)范為主。

舉例子：從5個(gè)彩色球中，選出2個(gè)彩球，有多少種選法？

從N項(xiàng)中任取n項(xiàng)的排列數(shù)

舉例子：從5個(gè)彩色球中，選出2個(gè)彩球，有多少種排列方法？
代入得出答案是20種。

其實(shí)事件為樣本空間的一個(gè)子集，通常，如果能確定一個(gè)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)并且能夠知曉每個(gè)樣本點(diǎn)的概率，那么我們就能求出事件的概率。

事件A的補(bǔ)：指的是所有不包含在事件A中的樣本點(diǎn)所以事件A發(fā)生的

概率   P(A)=1-P(A-)。

事件的組合：并和交

兩個(gè)圓形區(qū)域所在的部分就是事件A和B的并，其中重疊的部分說(shuō)明有一些樣本點(diǎn)即屬于A又屬于B，它可以稱之為交。

得出加法公式為：

P(A∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B)。P(A∪B) 是兩個(gè)圓形面積，P(A)是藍(lán)色圓面積，P(B)是橙色圓面積，當(dāng)兩者相加時(shí)，會(huì)多出一塊重疊區(qū)域，于是減去P(A∩B)進(jìn)行修正，得出正確的結(jié)果。

如果某個(gè)事件A發(fā)生的可能性受到另外一個(gè)事件B的影響，此時(shí)A發(fā)生的可能性叫做條件概率，記作P(A|B)。表明我們是在B條件已經(jīng)發(fā)生的條件下考慮A發(fā)生的可能性，統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為給定條件B下事件A的概率。

進(jìn)而又得出了乘法公式：

簡(jiǎn)單的來(lái)講，貝葉斯定理其實(shí)就是，我們先假設(shè)一個(gè)事件發(fā)生的概率，然后又找到一個(gè)信息，最后得出在這個(gè)信息下這一事件發(fā)生的概率。

舉一個(gè)我們生活中的例子，當(dāng)我們和一個(gè)被懷疑做壞事的人聊天時(shí)，我們首先假設(shè)他做壞事的概率為a，然后我們根據(jù)和他交談的信息，得出對(duì)他新的認(rèn)識(shí)，重新判斷他做壞事的概率b。

貝葉斯就是闡述了這么一個(gè)事實(shí)：

新信息出現(xiàn)后B的概率=B的概率 X 新信息帶來(lái)的調(diào)整

所以調(diào)整后的貝葉斯公式為：

概率中通常將試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量將每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果賦予了一個(gè)數(shù)值，包含離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

既然隨機(jī)變量可以取不同的值，統(tǒng)計(jì)學(xué)家就用概率分布描述隨機(jī)變量取不同值的概率。相對(duì)應(yīng)的，有離散型概率分布和連續(xù)型概率分布。

數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量中心位置的一種度量。是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果乘以其結(jié)果的概率的總和。簡(jiǎn)單說(shuō)，它是概率中的平均值。

方差隨機(jī)變量的變異性或者是分散程度的度量。

其中的u就是E(x)。

二項(xiàng)分布是一種離散型的概率分布。故明思義，二項(xiàng)代表它有兩種可能的結(jié)果，把一種稱為成功，另外一種稱為失敗。

除了結(jié)果的規(guī)定，它還需要滿足其他性質(zhì)：每次試驗(yàn)成功的概率均是相同的，記錄為p；失敗的概率也相同，為1-p。每次試驗(yàn)必須相互獨(dú)立，該試驗(yàn)也叫做伯努利試驗(yàn)，重復(fù)n次即二項(xiàng)概率。擲硬幣就是一個(gè)典型的二項(xiàng)分布。當(dāng)我們要計(jì)算拋硬幣n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二項(xiàng)分布的公式：

且二項(xiàng)概率的數(shù)學(xué)期望為E(x) = np，方差Var(x) = np(1-p)。

泊松概率是另外一個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量，它主要用于估計(jì)某事件在特定時(shí)間或空間中發(fā)生的次數(shù)。比如一天內(nèi)中獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)，一個(gè)月內(nèi)某機(jī)器損壞的次數(shù)等。

泊松概率的成立條件是在任意兩個(gè)長(zhǎng)度相等的區(qū)間中，時(shí)間發(fā)生的概率是相同的，并且事件是否發(fā)生都是相互獨(dú)立的。

泊松概率既然表示事件在一個(gè)區(qū)間發(fā)生的次數(shù)，這里的次數(shù)就不會(huì)有上限，x取值可以無(wú)限大，只是可能性無(wú)限接近0，f(x)的最終值很小。

x代表發(fā)生x次，u代表發(fā)生次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，概率函數(shù)為：

其中泊松概率分布的數(shù)學(xué)期望和方差是相等的。

上述分布都是離散概率分布，當(dāng)隨機(jī)變量是連續(xù)型時(shí)，情況就完全不一樣了。因?yàn)殡x散概率的本質(zhì)是求x取某個(gè)特定值的概率，而連續(xù)隨機(jī)變量不行，它的取值是可以無(wú)限分割的，它取某個(gè)值時(shí)概率近似于0。連續(xù)變量是隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，此時(shí)的概率函數(shù)叫做概率密度函數(shù)。

隨機(jī)變量x在任意兩個(gè)子區(qū)間的概率是相同的。

均勻概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望

方差

正態(tài)概率分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最重要的分布。世界上絕大部分的分布都屬于正態(tài)分布，人的身高體重、考試成績(jī)、降雨量等都近似服從。

正態(tài)分布如同一條鐘形曲線。中間高，兩邊低，左右對(duì)稱。想象身高體重、考試成績(jī)，是否都呈現(xiàn)這一類分布態(tài)勢(shì)：大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在某處，小部分往兩端傾斜。

正態(tài)概率密度函數(shù)為：

u代表均值，σ代表標(biāo)準(zhǔn)差，兩者不同的取值將會(huì)造成不同形狀的正態(tài)分布。均值表示正態(tài)分布的左右偏移，標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的寬度和平坦，標(biāo)準(zhǔn)差越大曲線越平坦。

一個(gè)正態(tài)分布的經(jīng)驗(yàn)法則：

正態(tài)隨機(jī)變量有69.3%的值在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，95.4%的值在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，99.7%的值在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。

均值u=0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的隨機(jī)變量用z表示，將均值和標(biāo)準(zhǔn)差代入正態(tài)概率密度函數(shù)，得到一個(gè)簡(jiǎn)化的公式：

為了計(jì)算概率需要學(xué)習(xí)一個(gè)新的函數(shù)叫累計(jì)分布函數(shù)，它是概率密度函數(shù)的積分。用P(X<=x)表示隨機(jī)變量小于或者等于某個(gè)數(shù)值的概率，F(xiàn)(x) = P(X<=x)。

曲線f(x)就是概率密度函數(shù),曲線與X軸相交的陰影面積就是累計(jì)分布函數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)：

圖像如下：

計(jì)算三種類型的概率(這里需要說(shuō)明一點(diǎn)，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，隨機(jī)變量才用z表示)。

1. z小于或者等于某個(gè)給定值的概率,直接帶入分布函數(shù)得出
如：p(z<=1)=φ(1)=0.8413   (1值左邊標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積)。

2. z在給定的兩個(gè)值之間的概率
如：P(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) – P(z<=-1) =φ(1.25)-φ(1) =0.735。

3. z大于或者等于某個(gè)給定值的概率
如：P(z>1) = 1-P(z<=1) =1-φ(1)= 0.1586。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般的正態(tài)分布的關(guān)系:

任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它依據(jù)的定理如下：

下面做一道題目練習(xí)吧！

現(xiàn)在有一個(gè)u=10和σ=2的正態(tài)隨機(jī)變量，求x在10與14之間的概率是多少？

當(dāng)x=10時(shí)，z=(10-10)/2=2。當(dāng)x=14時(shí)，z=(14-10)/2=2。于是x在10和14之間的概率等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中0和2之間的概率。計(jì)算P(0<=z<=2) =P(z<=2) – P(z<=0) =0.4772。

指數(shù)概率密度函數(shù)

其中，x>=0，u為均值，e=2.71828;

計(jì)算概率

指數(shù)隨機(jī)變量取小于或者等于某一特定值X0的概率

且指數(shù)概率分布的期望=標(biāo)準(zhǔn)差。

泊松分布：1.是離散型概率分布 2.描述每一區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)。

指數(shù)分布：1.是連續(xù)型概率分布 2.描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔的長(zhǎng)度。

為了說(shuō)明問(wèn)題，簡(jiǎn)單舉兩個(gè)小例子：

①20分鐘內(nèi)購(gòu)買肯德基早餐的人數(shù)的均值是10人，那么如果求每20分鐘有x人購(gòu)買的概率，就應(yīng)該用泊松概率函數(shù)：

②２0分鐘內(nèi)購(gòu)買肯德基早餐的人數(shù)的均值是10人，那么如果求每20分鐘這一區(qū)間內(nèi)，兩位顧客購(gòu)買的時(shí)間間隔為小于x0的概率，就應(yīng)該用指數(shù)概率函數(shù)。

購(gòu)買的間隔均值為u=10/20=0.5
把u帶入下面的公式

首先不管是從有限總體中抽樣還是從無(wú)限總體中抽樣都應(yīng)該滿足抽樣的隨機(jī)性。

我們抽樣得出樣本統(tǒng)計(jì)量就是為了估計(jì)總體的參數(shù)。

樣本均值(x拔)是總體均值的u的點(diǎn)估計(jì)：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s是總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ的點(diǎn)估計(jì)：

樣本比率(p拔)是總體比率的p的點(diǎn)估計(jì)：

其實(shí)當(dāng)我們抽樣的時(shí)候，我們抽取的每個(gè)樣本的均值、方差、比率，可能都是不同的，如果我們把抽取一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本看作一次試驗(yàn)，那么(x拔)就有期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和概率分布了((x拔)的概率分布也就是(x拔)的抽樣分布)。

(x拔)的抽樣：樣本均值(x拔)的所有可能值的概率分布。

(x拔)的數(shù)學(xué)期望：

其中u是總體的期望。

(x拔)的標(biāo)準(zhǔn)差

當(dāng)樣本容量占總體5%以上時(shí)，有求樣本標(biāo)準(zhǔn)差公式如下：

當(dāng)樣本容量占總體5%以下時(shí)，公式可以簡(jiǎn)化成：

其中n是樣本容量，N是總體容量，σ是總體標(biāo)準(zhǔn)差，σ(x拔)是樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

重點(diǎn)來(lái)了：

①如果總體服從正態(tài)分布時(shí)：任何樣本容量下的(x拔)的抽樣分布都是正態(tài)分布。

②總體不服從正態(tài)分布時(shí)：

a.中心極限定理：從總體中抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，當(dāng)樣本的容量額很大時(shí)，樣本均值(x拔)的抽樣分布近似服從正態(tài)概率分布。

b.其實(shí)在大多數(shù)的應(yīng)用中，樣本容量大于30時(shí)，(x拔)的抽樣分布近似服  從正態(tài)概率分布。

(p拔)的抽樣：樣本比率(p拔)的所有可能值的概率分布。

其中：x=具有感興趣特征的個(gè)體的個(gè)數(shù)，n=樣本容量。
(p拔)的數(shù)學(xué)期望：

其中，p=總體比率。

(p拔)的標(biāo)準(zhǔn)差：

當(dāng)樣本容量占總體5%以上時(shí)，有求樣本標(biāo)準(zhǔn)差公式如下：

當(dāng)樣本容量占總體5%以下時(shí)，公式可以簡(jiǎn)化成：

其中n是樣本容量，N是總體容量，p是總體比率，σ(p拔)是樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

(p拔)的抽樣分布形態(tài):

在上面的公式之中，x是一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，n為常數(shù)，所以(p拔)也是離散型的概率分布。其實(shí)，如果樣本容量足夠大，并且np>=5和n(1-p)>=5,二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似,(p拔)的抽樣分布可用正態(tài)分布來(lái)近似。

點(diǎn)估計(jì)是用于估計(jì)總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量，但是我們不可能通過(guò)點(diǎn)估計(jì)就給出總體參數(shù)的一個(gè)精確值，更穩(wěn)妥的方法是加減一個(gè)邊際誤差，通過(guò)一個(gè)區(qū)間值來(lái)估計(jì)(區(qū)間估計(jì))。

  1. 總體均值的區(qū)間的估計(jì)

對(duì)總體均值進(jìn)行估計(jì)時(shí):

①要利用總體標(biāo)準(zhǔn)差σ計(jì)算邊際誤差。

②抽樣前可通過(guò)大量歷史數(shù)據(jù)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。

下面做一道例題感受下吧：

這是一道有關(guān)顧客購(gòu)物消費(fèi)額的問(wèn)題，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，σ=20美元，并且總體服正態(tài)分布�，F(xiàn)在抽取n=100名顧客的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值(x拔)=82美元。求總體均值的區(qū)間估計(jì)。

開始解答了：

①總體服從正態(tài)分布，所以樣本均值的抽樣分布也是正態(tài)分布。

②根據(jù)σ=20美元，得出：

③所以x拔的抽樣分布服從標(biāo)準(zhǔn)差為σ(x拔)=2的正態(tài)分布。

④任何正態(tài)分布的隨機(jī)變量都有95%的值在均值附近加減1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)(通過(guò)查表可得)。

⑤σ(x拔)=2，(x拔)所有值的95%都落在【u加減1.96σ(x拔)也即是u加減3.92】。
也即是：

(x拔)=82美元

所以u(píng)的區(qū)間估計(jì)是(78.08,85.92)。

其中這個(gè)區(qū)間是在95%置信水平下建立的，置信系數(shù)為0.05。區(qū)間(78.08,85.92)為95%的置信區(qū)間。

根據(jù)公式來(lái)計(jì)算區(qū)間，邊際誤差、區(qū)間估計(jì)如下圖所示：

所以：

在90%，95%，99%的置信水平情況下：

所以90%,99%的置信水平下的置信區(qū)間為：

其實(shí)我們也能得出這樣的結(jié)論：想要達(dá)到的置信水平越高，邊際誤差就要越大，置信區(qū)間也是越寬。

①當(dāng)σ未知時(shí)，我們需要利用同一個(gè)樣本估計(jì)u和σ兩個(gè)參數(shù)。

②用s估計(jì)σ時(shí)，邊際誤差和總體均值的區(qū)間估計(jì)依據(jù)t分布。

并且總體是不是正態(tài)分布用t分布來(lái)估計(jì)效果都是挺好的。

t分布

有一類相似的概率分布組成的分布族；某個(gè)特定的t分布依賴于自由度的參數(shù)；自由度越大，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的差別越��；t分布的均值為0。

其中與z分布有類似的情況的是：

例如：

利用的計(jì)算公式如下：
邊際誤差：

區(qū)間估計(jì)：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

自由度:n-1。

注：

我們可以選擇足夠的樣本容量以達(dá)到所希望的邊際誤差。

由于邊際誤差公式為：

所以總體均值區(qū)間估計(jì)中的樣本容量為：

注：

如果σ未知，可通過(guò)以下方法確定σ的初始值。

①根據(jù)以前研究中的數(shù)據(jù)計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。

②利用實(shí)驗(yàn)性研究，選取一個(gè)初始樣本，以初始樣本的標(biāo)準(zhǔn)差做估計(jì)值。

③對(duì)σ進(jìn)行判斷或最優(yōu)猜測(cè)：計(jì)算極差/4為標(biāo)準(zhǔn)差的粗略估計(jì)。

由于和總體均值的區(qū)間估計(jì)類似，這里就不詳細(xì)說(shuō)明了，直接上公式：

邊際誤差：

區(qū)間估計(jì)：

我們可以選擇足夠的樣本容量以達(dá)到所希望的邊際誤差。

邊際誤差：

所以樣本容量為：

由于抽樣前(p拔)是未知的，不能用于計(jì)算達(dá)到預(yù)期的邊際誤差所要的樣本容量，因此令(p星)表示(p拔)的計(jì)劃值：

p星的確定

①用以前研究中類似的樣本的樣本比率作為計(jì)劃值。

②利用實(shí)驗(yàn)性的研究，選取一個(gè)初始樣本，以初始樣本的樣本比例作為計(jì)劃值。

③使用判斷或最優(yōu)猜測(cè)作為計(jì)劃值。

④如果上述均不可，計(jì)劃值取為0.5，這是因?yàn)閜(星)=0.5時(shí)，p星*(1-p星)取得最大值，同時(shí)樣本容量也能取的最大值。

何為假設(shè)檢驗(yàn)？假設(shè)檢驗(yàn)是對(duì)總體參數(shù)做一個(gè)嘗試性的假設(shè)，該嘗試性的假設(shè)稱為原假設(shè)，然后定義一個(gè)和原假設(shè)完全對(duì)立的假設(shè)叫做備選假設(shè)。其中備選假設(shè)是我們希望成立的論斷，原假設(shè)是我們不希望成立的論斷。

假設(shè)檢驗(yàn)涉及討論的內(nèi)容有：

①總體均值的檢驗(yàn)：σ已知和σ未知情形。

②總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)：σ已知和σ未知道。

但是下面主要討論在σ已知情形下，總體均值的檢驗(yàn)，其他的根據(jù)區(qū)間估計(jì)中的證明和下面的例題都能很方便的理解出來(lái)。

準(zhǔn)備一道例題，通過(guò)例子說(shuō)明思路。

質(zhì)檢機(jī)構(gòu)檢查某品牌咖啡的標(biāo)簽上顯示裝有3磅咖啡，現(xiàn)在質(zhì)檢機(jī)構(gòu)需要確定每罐咖啡的質(zhì)量至少有三磅，以保證消費(fèi)者權(quán)益。已知道σ=0.18,現(xiàn)在取得n=36罐咖啡組成一個(gè)隨機(jī)樣本，計(jì)算出(x拔)=2.92。

開始解答了：

①首先我們明白想要的結(jié)果是證明u<3，所以就提出了原假設(shè)和備選假設(shè)如下：h0：u>=3;Ha:u<3。

②其中我們?cè)跈z驗(yàn)的過(guò)程允許以1%的可能性犯錯(cuò)誤也即是 α=0.01。

③由于樣本n=36,σ=0.18,所本均值的抽樣分布是服從正態(tài)概率分布。

④所以當(dāng)(x拔)=2.92時(shí)，z=-2.67。

⑤因?yàn)樵�假設(shè)u是大于等于3的，所以我們就觀察z小于或等于-2.69的值，讓p值等于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值z(mì)小于或等于-2.69的概率；利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率表，z=-2.69時(shí)，p值=0.0038。

其中我們可以這樣理解z小于或者等于-2.69的概率p=0.0038這一事件的發(fā)生概率是非常的小，又加上允許犯錯(cuò)的概率是0.01(也即是發(fā)生的概率是0.01結(jié)果是非常小的，我直接忽略了)。

所以我們直接認(rèn)為z小于或者等于-2.69這一事件太小以至于我們認(rèn)為他是不發(fā)生的。所以我們拒絕了H0：u>=3這一假設(shè)。所以，在0.01的顯著水平下有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕H0。