1. 什么是有效數(shù)字呢？

⑴有效數(shù)字是指在分析和測(cè)量中所能得到的有實(shí)際意義的數(shù)字。測(cè)量結(jié)果是由有效數(shù)字組成的（前后定位用的“0”除外）。

例如 測(cè)量結(jié)果1.1080g，組成數(shù)字1、1、0、8、0都是實(shí)際測(cè)讀到的，它們是表示試樣質(zhì)量大小的，因而都是有實(shí)際意義的。

⑵有效數(shù)字的前幾位都是準(zhǔn)確數(shù)字，只有最后一位是可疑數(shù)字。

例如前述的1.1080， 前幾位數(shù)字1、1、0、8都是稱量讀到的準(zhǔn)確數(shù)字，而最后一位數(shù)字0則是在沒有刻度的情況下估讀出來的，是不準(zhǔn)確的或者說可疑的。

⑶有效數(shù)字是處于表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)值的不同數(shù)位上。所有有效數(shù)字所占有的數(shù)位個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字位數(shù)。

例如 數(shù)值3.5，有兩個(gè)有效數(shù)字，占有個(gè)位、十分位兩個(gè)數(shù)位，因而有效數(shù)字位數(shù)為兩位；3.501有四個(gè)有效數(shù)字，占有個(gè)位、十分位、百分位等四個(gè)數(shù)位，因而是四位有效數(shù)字。

⑷測(cè)量結(jié)果的數(shù)字，其有效位數(shù)反映了測(cè)量結(jié)果的精確度，它直接與測(cè)量的精密度有關(guān)。這也是有效數(shù)字實(shí)際意義的體現(xiàn)，是非常重要的體現(xiàn)。

例如 前述例子中，若測(cè)量結(jié)果為1.1080g，則表示測(cè)量值的誤差在10^-4量級(jí)上，天平的精度為萬分之一；若測(cè)量結(jié)果為1.108g，則表示測(cè)量值的誤差在10^-3量級(jí)上，天平的精度為千分之一。

2、有效數(shù)字位數(shù)的確定原則

在確定有效數(shù)字位數(shù)時(shí)應(yīng)遵循下列原則：

⑴數(shù)值中數(shù)字1～9都是有效數(shù)字。

⑵數(shù)字“0”在數(shù)值中所處的位置不同，起的作用也不同，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。判定如下：

① “0”在數(shù)字前，僅起定位作用，不是有效數(shù)字。

例如 0.0257中， “2”前面的兩個(gè)“0”均非有效數(shù)字。 0.123、0.0123、0.00123中“1”前面的 “0”也均非有效數(shù)字。

②數(shù)值末尾的“0”屬于有效數(shù)字。

例如 0.5000中， “5”后面的三個(gè)“0”均為有效數(shù)字；0.50中， “5”后面的一個(gè)“0”也是有效數(shù)字。

③數(shù)值中夾在數(shù)字中間的“0”是有效數(shù)字。

 例如 數(shù)值1. 008中的兩個(gè)“0”是均是有效數(shù)字；數(shù)值8. 01中間的 “0”也是有效數(shù)字。

④以“0”結(jié)尾的正整數(shù)， “0”是不是有效數(shù)字不確定，應(yīng)根據(jù)測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確度確定。

例如 3600，后面的兩個(gè)“0”如果不指明測(cè)量準(zhǔn)確度就不能確定是不是有效數(shù)字。測(cè)量中遇到這種情況，最好根據(jù)實(shí)際測(cè)試結(jié)果的精確度確定有效數(shù)字的位數(shù)，有效數(shù)字用小數(shù)表示，把“0”用10的乘方表示。如將3600寫成3.6×103表示此數(shù)有兩位有效數(shù)字；寫成3.60×103表示此數(shù)有三位有效數(shù)字；寫成3.600×103表示此數(shù)有四位有效數(shù)字。

3.修約間隔

修約間隔又稱修約區(qū)間或化整間隔，系確定修約保留位數(shù)的一種方式。修約間隔一般以k×10n（k=1，2，5；n為整數(shù)）的形式表示，將同一k值的修約間隔，簡(jiǎn)稱為“k”間隔。

修約間隔的數(shù)值一經(jīng)確定，修約值即應(yīng)為該數(shù)值的整數(shù)倍。

例如 指定修約間隔為0.1，修約值即應(yīng)在0.1的整數(shù)倍中選取，相當(dāng)于將數(shù)值修約到一位小數(shù)。

•    1.0239修約到0.01，為1.02，

•    1.02÷0.01=102（倍）

4.修約數(shù)位及確定修約位數(shù)的表達(dá)方式

修約時(shí)擬將擬修約數(shù)的哪一位數(shù)位后部分按修約規(guī)則舍去，則該數(shù)位就是修約數(shù)位。

數(shù)值修約時(shí)需要先明確修約數(shù)位，確定修約位數(shù)的表達(dá)方式如下：

⑴指明具體的修約間隔。如指明將某數(shù)按0.2（2×10^-1）修約間隔修約、100 （1×10²）修約間隔修約等。

⑵指定將擬修約數(shù)修約至某數(shù)位的0.1、0.2或0.5個(gè)單位。

⑶指明“k”按間隔將擬修約數(shù)修約為幾位有效數(shù)字，或修約至某數(shù)位。這時(shí)“1” 間隔可不必指明，但“2”間隔和“5”間隔必須指明。

1、GB/T 8170-2008 《數(shù)值修約規(guī)則》

⑴擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時(shí)，則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。

例如 將12.1498修約到一位小數(shù)，得12.1。

例如 將12.1498修約成兩位有效位數(shù)，得12。

⑵擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5；或者是5，而其后跟有并非全部為0的數(shù)字時(shí)，則進(jìn)一，即保留的末位數(shù)字加1。

例如 將1268修約到“百”數(shù)位，得13×10²（特定時(shí)可寫為1300）。

例如 將1268修約成三位有效位數(shù)，得127×10（特定時(shí)可寫為1270）。

例如 將10.502修約到個(gè)數(shù)位，得11。

注：“特定時(shí)”的涵義系指修約間隔或有效位數(shù)明確時(shí)。

⑶擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5，而右面無數(shù)字或皆為0時(shí)，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)(1,3,5,7,9）則進(jìn)一，為偶數(shù)（2,4,6,8,0）則舍棄。

⑷負(fù)數(shù)修約時(shí)，先將它的絕對(duì)值按上述⑴⑵⑶規(guī)定進(jìn)行修約，然后在修約值前面加上負(fù)號(hào)。

⑸ 0.5單位修約與0.2單位修約

① 0.5單位修約 既將擬修約數(shù)乘以2，按指定數(shù)位依3.1-3.4規(guī)則修約，所得數(shù)再除以2。

② 0.2單位修約 既將擬修約數(shù)乘以5，按指定數(shù)位依3.1-3.4規(guī)則修約，所得數(shù)值再除以5。

2.通用數(shù)值修約方法

⑴如果為修約間隔整數(shù)培的一系列數(shù)中，只有一個(gè)數(shù)最接近于擬修約數(shù)，則該數(shù)就是修約數(shù)。

例如 將1.150001按0.1修約間隔進(jìn)行修約。此時(shí)，與擬修約數(shù)1.150001鄰近的為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)有1.1和1.2（分別為修約間隔的11倍和12倍），然而只有1.2最接近于擬修約數(shù)，因此1.2就是修約數(shù)。

⑵如果為修約間隔整數(shù)培的一系列數(shù)中，有連續(xù)兩個(gè)數(shù)同等接近于擬修約數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中，為修約間隔偶數(shù)培的數(shù)就是修約數(shù)。

例如，將1150按100修約間隔行修約。此時(shí)，與擬修約數(shù)1150鄰近的為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)有1100和1200（分別為修約間隔的11倍和12倍），這兩個(gè)數(shù)同等接近于擬修約數(shù)，然而1200為修約間隔的偶數(shù)培（12倍），因此1200 就是修約數(shù)。

⑶一個(gè)數(shù)據(jù)的修約只能進(jìn)行一次，不能分次修約。

1.加減運(yùn)算

幾個(gè)數(shù)相加減的結(jié)果，經(jīng)修約后保留有效數(shù)字的位數(shù)，取決于絕對(duì)誤差最大的數(shù)值，計(jì)算結(jié)果應(yīng)以絕對(duì)誤差最大（即小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少）的數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，來決定計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)的位數(shù)。

在實(shí)際運(yùn)算過程中，各數(shù)值保留的位數(shù)比各數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少者多保留一位小數(shù)，而計(jì)算結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與效數(shù)最少的一數(shù)相同。

例如      29.2+36.582-3.0281=62.8

2.乘除運(yùn)算

幾個(gè)數(shù)據(jù)的乘除運(yùn)算以相對(duì)誤差最大（即有效數(shù)字位數(shù)最少）的數(shù)值為基準(zhǔn)來決定結(jié)果數(shù)據(jù)的位數(shù)。

在實(shí)際運(yùn)算中，先將各數(shù)值修約至比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)值相同。（與小數(shù)點(diǎn)位置無關(guān)）

例如，  0.235438×28.6×61.8911

         ≈0.2354×28.6×61.89

         =414.6707116

    三個(gè)參與運(yùn)算的數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)分別為六位、三位、六位，所以最終計(jì)算結(jié)果用三位有效數(shù)字表示，為415或4.15×102。

3.乘方和開方

乘方或開方時(shí)，原數(shù)值有幾位有效數(shù)字，計(jì)算結(jié)果就可以保留幾位有效數(shù)字。若計(jì)算結(jié)果還要參與運(yùn)算，則乘方或開方所得結(jié)果可比原數(shù)值多保留一位有效數(shù)字。

例如：3.58²=12.8614，運(yùn)算結(jié)果保留三位有效數(shù)字，為12.9。

4.對(duì)數(shù)運(yùn)算

在數(shù)值對(duì)數(shù)計(jì)算時(shí)，所取對(duì)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)（不包括首數(shù)）應(yīng)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。換言之，對(duì)數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)，只計(jì)小數(shù)點(diǎn)以后的數(shù)字的位數(shù)，而不計(jì)對(duì)數(shù)的整數(shù)部分。

例如：log（100.44）

       = log（1.0044×10²）

       = 2.0019067…。

最后結(jié)果應(yīng)為2.00191，結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)是五位（小數(shù)后位數(shù)）而不是六位（整數(shù)位數(shù)加小數(shù)位數(shù)），因整數(shù)部分只說明該數(shù)的10的方次。

5.平均值

計(jì)算幾個(gè)數(shù)值的平均值時(shí)，先將計(jì)算結(jié)果修約至比要求的位數(shù)多一位，再按數(shù)值修約規(guī)則處理。

6.方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差

方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差在運(yùn)算過程中對(duì)中間結(jié)果不做修約，只將最后結(jié)果修約至要求的位數(shù)。

注意：

⑴在所有計(jì)算式中，常數(shù)（π、e等）以及非檢測(cè)所得的計(jì)算因子（倍數(shù)或分?jǐn)?shù)等）的有效數(shù)字位數(shù)，可視為無限，需要幾位就取幾位。

⑵使用計(jì)算器（或電腦）進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一般不對(duì)中間每一步驟的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修約，僅對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行修約，使其符合事先所確定的位數(shù)。

數(shù)值修約你學(xué)會(huì)了嗎？